Leysa {l}{-6x+2y=6}{4x-4y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 2 y = 6 } \\ { 4 x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-6x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=-2y+6$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-2y+6\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum -2y+6.

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

Settu \frac{y}{3}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-4y=-20.

$$4\left(\frac{1}{3}y-1\right)-4y=-20$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-4-4y=-20$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -4y.

$$-\frac{8}{3}y-4=-20$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{8}{3}y=-16$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 6-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 6.

$$x=2-1$$

Leggðu -1 saman við 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{2}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{8}\left(-20\right)\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{3}{8}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Til að gera -6x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -6.

$$4\left(-6\right)x+4\times 2y=4\times 6,-6\times 4x-6\left(-4\right)y=-6\left(-20\right)$$

Einfaldaðu.

$$-24x+8y=24,-24x+24y=120$$

Dragðu -24x+24y=120 frá -24x+8y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-24x+24x+8y-24y=24-120$$

Leggðu -24x saman við 24x. Liðirnir -24x og 24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-24y=24-120$$

Leggðu 8y saman við -24y.

$$-16y=24-120$$

Leggðu 24 saman við -120.

$$-16y=-96$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 4x-4y=-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-4\times 6=-20$$

Margfaldaðu -4 sinnum 6.

$$4x-24=-20$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=6$$