Leysa {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-6x+10y=28$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=-10y+28$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum -10y+28.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

Settu \frac{5y-14}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-10y=-21.

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{5y-14}{3}.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

Leggðu \frac{35y}{3} saman við -10y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

Leggðu \frac{98}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum 7.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

Leggðu -\frac{14}{3} saman við \frac{35}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Til að gera -6x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -6.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

Einfaldaðu.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

Dragðu -42x+60y=126 frá -42x+70y=196 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

Leggðu -42x saman við 42x. Liðirnir -42x og 42x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$70y-60y=196-126$$

Leggðu 70y saman við -60y.

$$10y=196-126$$

Leggðu 196 saman við -126.

$$10y=70$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í 7x-10y=-21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-10\times 7=-21$$

Margfaldaðu -10 sinnum 7.

$$7x-70=-21$$

Leggðu 70 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=49$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=7$$