Leysa {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5y+8x=-18$$

Dragðu 8x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-8x-18$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Settu \frac{8x+18}{5} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

Leggðu 8x saman við 2x.

$$10x+18=58$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=40$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Margfaldaðu \frac{8}{5} sinnum 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Leggðu \frac{18}{5} saman við \frac{32}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=10,x=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=10,x=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Til að gera -5y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Einfaldaðu.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Dragðu -25y-10x=-290 frá -25y+40x=-90 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Leggðu -25y saman við 25y. Liðirnir -25y og 25y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40x+10x=-90+290$$

Leggðu 40x saman við 10x.

$$50x=-90+290$$

Leggðu -90 saman við 290.

$$50x=200$$

Deildu báðum hliðum með 50.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í 5y+2x=58. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+2\times 4=58$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$5y+8=58$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=50$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=10,x=4$$