Leysa {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x-3y-9=0$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x-3y=9$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=3y+9$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum 9+3y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

Settu \frac{-3y-9}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-18y-54=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-3y-9}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

Leggðu -\frac{12y}{5} saman við -18y.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

Leggðu -\frac{36}{5} saman við -54.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

Leggðu \frac{306}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{102}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum -3.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

Leggðu -\frac{9}{5} saman við \frac{9}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Til að gera -5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

Dragðu -20x+90y+270=0 frá -20x-12y-36=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

Leggðu -20x saman við 20x. Liðirnir -20x og 20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-90y-36-270=0$$

Leggðu -12y saman við -90y.

$$-102y-36-270=0$$

Leggðu -36 saman við -270.

$$-102y-306=0$$

Leggðu 306 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-102y=306$$

Deildu báðum hliðum með -102.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 4x-18y-54=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

Margfaldaðu -18 sinnum -3.

$$4x+54-54=0$$

Leggðu 54 saman við -54.

$$4x=0$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$