Leysa {l}{-5x+5y=-5}{-4x+2y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 5 } \\ { - 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+5y=-5$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-5y-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-5\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -5y-5.

$$x=y+1$$

Settu y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+2y=-14.

$$-4\left(y+1\right)+2y=-14$$

Margfaldaðu -4 sinnum y+1.

$$-4y-4+2y=-14$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y-4=-14$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5+1$$

Leggðu 1 saman við 5.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{2}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\\\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Til að gera -5x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$-4\left(-5\right)x-4\times 5y=-4\left(-5\right),-5\left(-4\right)x-5\times 2y=-5\left(-14\right)$$

Einfaldaðu.

$$20x-20y=20,20x-10y=70$$

Dragðu 20x-10y=70 frá 20x-20y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x-20y+10y=20-70$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20y+10y=20-70$$

Leggðu -20y saman við 10y.

$$-10y=20-70$$

Leggðu 20 saman við -70.

$$-10y=-50$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í -4x+2y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+2\times 5=-14$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$-4x+10=-14$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-24$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=5$$