Leysa {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+5y=-10$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-5y-10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -5y-10.

$$x=y+2$$

Settu y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+5y=-16.

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

Margfaldaðu -2 sinnum y+2.

$$-2y-4+5y=-16$$

Leggðu -2y saman við 5y.

$$3y-4=-16$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4+2$$

Leggðu 2 saman við -4.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Dragðu -2x+5y=-16 frá -5x+5y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5x+2x=-10+16$$

Leggðu -5x saman við 2x.

$$-3x=-10+16$$

Leggðu -10 saman við 16.

$$-3x=6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í -2x+5y=-16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2.

$$4+5y=-16$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-4$$