Leysa {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+13y=-7$$

Dragðu 13y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-13y-7$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -13y-7.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{13y+7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+4y=24.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{13y+7}{5}.

$$13y+7+4y=24$$

Leggðu 13y saman við 4y.

$$17y+7=24$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$17y=17$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við \frac{13}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Til að gera -5x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

Einfaldaðu.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

Dragðu -25x-20y=-120 frá -25x+65y=-35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

Leggðu -25x saman við 25x. Liðirnir -25x og 25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$65y+20y=-35+120$$

Leggðu 65y saman við 20y.

$$85y=-35+120$$

Leggðu -35 saman við 120.

$$85y=85$$

Deildu báðum hliðum með 85.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 5x+4y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+4=24$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=1$$