Leysa {l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+10y=15$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-10y+15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -10y+15.

$$x=2y-3$$

Settu 2y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+2y=-1.

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

Margfaldaðu -5 sinnum 2y-3.

$$-10y+15+2y=-1$$

Leggðu -10y saman við 2y.

$$-8y+15=-1$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8y=-16$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=2y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 2-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=4-3$$

Leggðu -3 saman við 4.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Dragðu -5x+2y=-1 frá -5x+10y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-2y=15+1$$

Leggðu 10y saman við -2y.

$$8y=15+1$$

Leggðu 15 saman við 1.

$$8y=16$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -5x+2y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+2\times 2=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$-5x+4=-1$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$