Leysa {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x-10y=20$$

Leggðu 10y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=10y+20$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Settu -\frac{5y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Leggðu -20y saman við 10y.

$$-10y-40=20$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-10y=60$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum -6.

$$x=15-5$$

Leggðu -5 saman við 15.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Til að gera -4x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Einfaldaðu.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Dragðu -32x-40y=-80 frá -32x-80y=160 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Leggðu -32x saman við 32x. Liðirnir -32x og 32x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-80y+40y=160+80$$

Leggðu -80y saman við 40y.

$$-40y=160+80$$

Leggðu 160 saman við 80.

$$-40y=240$$

Deildu báðum hliðum með -40.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 8x+10y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

Margfaldaðu 10 sinnum -6.

$$8x-60=20$$

Leggðu 60 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=80$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-6$$