Leysa {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x+7y+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x+7y=-5$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-7y-5$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{7y+5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=-5.

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

Leggðu \frac{7y}{4} saman við -3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu \frac{7}{4} sinnum 5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{35}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Til að gera -4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

Dragðu -4x+12y=20 frá -4x+7y+5=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y-12y+5=-20$$

Leggðu 7y saman við -12y.

$$-5y+5=-20$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-25$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x-3y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3\times 5=-5$$

Margfaldaðu -3 sinnum 5.

$$x-15=-5$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=5$$