Leysa {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x+5y=24$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-5y+24$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Settu \frac{5y}{4}-6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=\frac{5}{4}y-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Margfaldaðu \frac{5}{4} sinnum 8.

$$x=10-6$$

Leggðu -6 saman við 10.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=8$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=8$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Til að gera -4x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Einfaldaðu.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Dragðu 8x-4y=0 frá 8x-10y=-48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+4y=-48$$

Leggðu -10y saman við 4y.

$$-6y=-48$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í -2x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=8$$