Leysa {l}{-3x-y=1}{-2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 1 } \\ { - 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1.090909091$$

$$y = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x-y=1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=y+1$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-y-1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+3y=9.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+3y=9$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-y-1}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}+3y=9$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við 3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{2}{3}=9$$

Dragðu \frac{2}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{3}y=\frac{25}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{25}{11}$$

Skiptu \frac{25}{11} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{25}{11}-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{25}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{25}{33}-\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við -\frac{25}{33} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 9\\-\frac{2}{11}+\frac{3}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{11}\\\frac{25}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x-y=1,-2x+3y=9$$

Til að gera -3x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-2\left(-3\right)x-2\left(-1\right)y=-2,-3\left(-2\right)x-3\times 3y=-3\times 9$$

Einfaldaðu.

$$6x+2y=-2,6x-9y=-27$$

Dragðu 6x-9y=-27 frá 6x+2y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+2y+9y=-2+27$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+9y=-2+27$$

Leggðu 2y saman við 9y.

$$11y=-2+27$$

Leggðu -2 saman við 27.

$$11y=25$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=\frac{25}{11}$$

Skiptu \frac{25}{11} út fyrir y í -2x+3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3\times \frac{25}{11}=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{25}{11}.

$$-2x+\frac{75}{11}=9$$

Dragðu \frac{75}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=\frac{24}{11}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{11},y=\frac{25}{11}$$