Leysa {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x-2y=6$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=2y+6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 6+2y.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

Settu -\frac{2y}{3}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+3y=-9.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{2y}{3}-2.

$$-2y-6+3y=-9$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y-6=-9$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -3.

$$x=2-2$$

Leggðu -2 saman við 2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Til að gera -3x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

Einfaldaðu.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

Dragðu -9x-9y=27 frá -9x-6y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

Leggðu -9x saman við 9x. Liðirnir -9x og 9x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y+9y=18-27$$

Leggðu -6y saman við 9y.

$$3y=18-27$$

Leggðu 18 saman við -27.

$$3y=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 3x+3y=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -3.

$$3x-9=-9$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$