Leysa {l}{-3x+y=8}{-8x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 8 } \\ { - 8 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x+y=8$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-y+8$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -y+8.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}$$

Settu \frac{-8+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x+2y=20.

$$-8\left(\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}\right)+2y=20$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{-8+y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{64}{3}+2y=20$$

Leggðu -\frac{8y}{3} saman við 2y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{64}{3}=20$$

Dragðu \frac{64}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{2-8}{3}$$

Leggðu -\frac{8}{3} saman við \frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\4&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8-\frac{1}{2}\times 20\\4\times 8-\frac{3}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Til að gera -3x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-8\left(-3\right)x-8y=-8\times 8,-3\left(-8\right)x-3\times 2y=-3\times 20$$

Einfaldaðu.

$$24x-8y=-64,24x-6y=-60$$

Dragðu 24x-6y=-60 frá 24x-8y=-64 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24x-24x-8y+6y=-64+60$$

Leggðu 24x saman við -24x. Liðirnir 24x og -24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y+6y=-64+60$$

Leggðu -8y saman við 6y.

$$-2y=-64+60$$

Leggðu -64 saman við 60.

$$-2y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -8x+2y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x+2\times 2=20$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$-8x+4=20$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=16$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$