Leysa {l}{-3x+2y=4}{x=2-y}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 4 } \\ { x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$x+y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x+2y=4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-2y+4$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -2y+4.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-4+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=2.

$$\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}+y=2$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=2$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

Leggðu -\frac{4}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$x+y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&-\frac{3}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$x+y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Til að gera -3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-3\times 2$$

Einfaldaðu.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-6$$

Dragðu -3x-3y=-6 frá -3x+2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+2y+3y=4+6$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+3y=4+6$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y=4+6$$

Leggðu 4 saman við 6.

$$5y=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2=2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$