Leysa {l}{-2x-9y=20}{-5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 9 y = 20 } \\ { - 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x-9y=20$$

Leggðu 9y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=9y+20$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(9y+20\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 9y+20.

$$x=-\frac{9}{2}y-10$$

Settu -\frac{9y}{2}-10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x-2y=9.

$$-5\left(-\frac{9}{2}y-10\right)-2y=9$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{9y}{2}-10.

$$\frac{45}{2}y+50-2y=9$$

Leggðu \frac{45y}{2} saman við -2y.

$$\frac{41}{2}y+50=9$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{41}{2}y=-41$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{41}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{9}{2}y-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-2\right)-10$$

Margfaldaðu -\frac{9}{2} sinnum -2.

$$x=9-10$$

Leggðu -10 saman við 9.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{41}&-\frac{9}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{2}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{41}\times 20-\frac{9}{41}\times 9\\-\frac{5}{41}\times 20+\frac{2}{41}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

Til að gera -2x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-5\left(-2\right)x-5\left(-9\right)y=-5\times 20,-2\left(-5\right)x-2\left(-2\right)y=-2\times 9$$

Einfaldaðu.

$$10x+45y=-100,10x+4y=-18$$

Dragðu 10x+4y=-18 frá 10x+45y=-100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+45y-4y=-100+18$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$45y-4y=-100+18$$

Leggðu 45y saman við -4y.

$$41y=-100+18$$

Leggðu -100 saman við 18.

$$41y=-82$$

Deildu báðum hliðum með 41.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -5x-2y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x-2\left(-2\right)=9$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2.

$$-5x+4=9$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$