Leysa {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+7y=4$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-7y+4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Settu \frac{7y}{2}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

Leggðu -14y saman við 3y.

$$-11y+8=2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{6}{11}$$

Skiptu \frac{6}{11} út fyrir y í x=\frac{7}{2}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Margfaldaðu \frac{7}{2} sinnum \frac{6}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

Leggðu -2 saman við \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Til að gera -2x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Dragðu 8x-6y=-4 frá 8x-28y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-28y+6y=-16+4$$

Leggðu -28y saman við 6y.

$$-22y=-16+4$$

Leggðu -16 saman við 4.

$$-22y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=\frac{6}{11}$$

Skiptu \frac{6}{11} út fyrir y í -4x+3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Dragðu \frac{18}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$