Leysa {l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+4y=14$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-4y+14$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -4y+14.

$$x=2y-7$$

Settu 2y-7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-4y=-7.

$$2y-7-4y=-7$$

Leggðu 2y saman við -4y.

$$-2y-7=-7$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=0$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=2y-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Til að gera -2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

Einfaldaðu.

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

Dragðu -2x+8y=14 frá -2x+4y=14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-8y=14-14$$

Leggðu 4y saman við -8y.

$$-4y=14-14$$

Leggðu 14 saman við -14.

$$-4y=0$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x-4y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=0$$