Leysa {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+3y=13$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-3y+13$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -3y+13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Settu \frac{3y-13}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-5y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{3y-13}{2}.

$$9y-39-5y=-3$$

Leggðu 9y saman við -5y.

$$4y-39=-3$$

Leggðu 39 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=36$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum 9.

$$x=\frac{27-13}{2}$$

Leggðu -\frac{13}{2} saman við \frac{27}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Til að gera -2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

Dragðu -12x+10y=6 frá -12x+18y=78 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-10y=78-6$$

Leggðu 18y saman við -10y.

$$8y=78-6$$

Leggðu 78 saman við -6.

$$8y=72$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 6x-5y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-5\times 9=-3$$

Margfaldaðu -5 sinnum 9.

$$6x-45=-3$$

Leggðu 45 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=42$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=9$$