Leysa {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu A með því að einangra A vinstra megin við samasemmerkið.

$$-15A+3B=21$$

Dragðu 3B frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15A=-3B+21$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{15} sinnum -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Settu \frac{-7+B}{5} inn fyrir A í hinni jöfnunni, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Leggðu -\frac{3B}{5} saman við -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Dragðu \frac{21}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{78}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$B=\frac{7}{6}$$

Skiptu \frac{7}{6} út fyrir B í A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum \frac{7}{6} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Leggðu -\frac{7}{5} saman við \frac{7}{30} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna A og B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Til að gera -15A og -3A jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Einfaldaðu.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Dragðu 45A+225B=210 frá 45A-9B=-63 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Leggðu 45A saman við -45A. Liðirnir 45A og -45A núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9B-225B=-63-210$$

Leggðu -9B saman við -225B.

$$-234B=-63-210$$

Leggðu -63 saman við -210.

$$-234B=-273$$

Deildu báðum hliðum með -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

Skiptu \frac{7}{6} út fyrir B í -3A-15B=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Margfaldaðu -15 sinnum \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Leggðu \frac{35}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$