Leysa {l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-12x-5y=40$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-12x=5y+40$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{12} sinnum 40+5y.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

Settu -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 12x-11y=88.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Margfaldaðu 12 sinnum -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}.

$$-5y-40-11y=88$$

Leggðu -5y saman við -11y.

$$-16y-40=88$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-16y=128$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=-8$$

Skiptu -8 út fyrir y í x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{12} sinnum -8.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

Leggðu -\frac{10}{3} saman við \frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Til að gera -12x og 12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -12.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

Einfaldaðu.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

Dragðu -144x+132y=-1056 frá -144x-60y=480 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

Leggðu -144x saman við 144x. Liðirnir -144x og 144x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-60y-132y=480+1056$$

Leggðu -60y saman við -132y.

$$-192y=480+1056$$

Leggðu 480 saman við 1056.

$$-192y=1536$$

Deildu báðum hliðum með -192.

$$y=-8$$

Skiptu -8 út fyrir y í 12x-11y=88. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Margfaldaðu -11 sinnum -8.

$$12x+88=88$$

Dragðu 88 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12x=0$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-8$$