Leysa {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$-10y+9x=-9$$

Dragðu 9x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-9x-9$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

Settu \frac{9+9x}{10} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

Leggðu 9x saman við 5x.

$$14x+9=-5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$14x=-14$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

Margfaldaðu \frac{9}{10} sinnum -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Leggðu \frac{9}{10} saman við -\frac{9}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=0,x=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=0,x=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Til að gera -10y og 10y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

Dragðu -100y-50x=50 frá -100y+90x=-90 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Leggðu -100y saman við 100y. Liðirnir -100y og 100y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$90x+50x=-90-50$$

Leggðu 90x saman við 50x.

$$140x=-90-50$$

Leggðu -90 saman við -50.

$$140x=-140$$

Deildu báðum hliðum með 140.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í 10y+5x=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

Margfaldaðu 5 sinnum -1.

$$10y-5=-5$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10y=0$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=0,x=-1$$