Leysa {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-10x-7y=-5$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-10x=7y-5$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum 7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

Settu -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

Leggðu -\frac{49y}{10} saman við 5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{10} sinnum 5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{7}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Til að gera -10x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -10.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

Einfaldaðu.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

Dragðu -70x-50y=-40 frá -70x-49y=-35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

Leggðu -70x saman við 70x. Liðirnir -70x og 70x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-49y+50y=-35+40$$

Leggðu -49y saman við 50y.

$$y=-35+40$$

Leggðu -35 saman við 40.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 7x+5y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+5\times 5=4$$

Margfaldaðu 5 sinnum 5.

$$7x+25=4$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=5$$