Leysa {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-10x+20y=460$$

Dragðu 20y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10x=-20y+460$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum -20y+460.

$$x=2y-46$$

Settu -46+2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Margfaldaðu 30 sinnum -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Leggðu 60y saman við 60y.

$$120y-1380=1620$$

Leggðu 1380 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$120y=3000$$

Deildu báðum hliðum með 120.

$$y=25$$

Skiptu 25 út fyrir y í x=2y-46. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 25-46$$

Margfaldaðu 2 sinnum 25.

$$x=50-46$$

Leggðu -46 saman við 50.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=25$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=25$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Til að gera -10x og 30x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 30 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Einfaldaðu.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Dragðu -300x-600y=-16200 frá -300x+600y=13800 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Leggðu -300x saman við 300x. Liðirnir -300x og 300x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$600y+600y=13800+16200$$

Leggðu 600y saman við 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Leggðu 13800 saman við 16200.

$$1200y=30000$$

Deildu báðum hliðum með 1200.

$$y=25$$

Skiptu 25 út fyrir y í 30x+60y=1620. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$30x+60\times 25=1620$$

Margfaldaðu 60 sinnum 25.

$$30x+1500=1620$$

Dragðu 1500 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$30x=120$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=25$$