Leysa {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

Dragðu \frac{23y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.8. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

Margfaldaðu -1.25 sinnum -\frac{23y}{10}+3.6.

$$x=2.875y-4.5$$

Settu \frac{23y}{8}-4.5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 1.6x-1.2y=6.4.

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

Margfaldaðu 1.6 sinnum \frac{23y}{8}-4.5.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

Leggðu \frac{23y}{5} saman við -\frac{6y}{5}.

$$3.4y-7.2=6.4$$

Leggðu 7.2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3.4y=13.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 3.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=2.875y-4.5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

Margfaldaðu 2.875 sinnum 4.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

Leggðu -4.5 saman við 11.5 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Til að gera -\frac{4x}{5} og \frac{8x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1.6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -0.8.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

Einfaldaðu.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

Dragðu -1.28x+0.96y=-5.12 frá -1.28x+3.68y=5.76 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Leggðu -\frac{32x}{25} saman við \frac{32x}{25}. Liðirnir -\frac{32x}{25} og \frac{32x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Leggðu \frac{92y}{25} saman við -\frac{24y}{25}.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

Leggðu 5.76 saman við 5.12 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$2.72y=10.88$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.72. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 1.6x-1.2y=6.4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

Margfaldaðu -1.2 sinnum 4.

$$1.6x-4.8=6.4$$

Leggðu 4.8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$1.6x=11.2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=4$$