Leysa {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Dragðu \frac{y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Settu \frac{y}{5}-700 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Margfaldaðu 0.4 sinnum \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Leggðu \frac{2y}{25} saman við \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Leggðu 280 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.28y=280$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.28. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1000$$

Skiptu 1000 út fyrir y í x=0.2y-700. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Margfaldaðu 0.2 sinnum 1000.

$$x=200-700$$

Leggðu -700 saman við 200.

$$x=-500$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-500,y=1000$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-500,y=1000$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Til að gera -\frac{x}{2} og \frac{2x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Einfaldaðu.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Dragðu -0.2x-0.1y=0 frá -0.2x+0.04y=140 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Leggðu -\frac{x}{5} saman við \frac{x}{5}. Liðirnir -\frac{x}{5} og \frac{x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.04y+0.1y=140$$

Leggðu \frac{y}{25} saman við \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.14. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1000$$

Skiptu 1000 út fyrir y í 0.4x+0.2y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Margfaldaðu 0.2 sinnum 1000.

$$0.4x+200=0$$

Dragðu 200 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.4x=-200$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-500$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-500,y=1000$$