Leysa {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

Leggðu 610 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-0.1x-0.7y=610$$

Leggðu \frac{7y}{10} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-0.1x=0.7y+610$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -10.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{7y}{10}+610.

$$x=-7y-6100$$

Settu -7y-6100 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -0.8x+0.5y+920=0.

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

Margfaldaðu -0.8 sinnum -7y-6100.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

Leggðu \frac{28y}{5} saman við \frac{y}{2}.

$$6.1y+4880+920=0$$

Leggðu 4880 saman við 920.

$$6.1y+5800=0$$

Dragðu 5800 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6.1y=-5800$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 6.1. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Skiptu -\frac{58000}{61} út fyrir y í x=-7y-6100. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

Margfaldaðu -7 sinnum -\frac{58000}{61}.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

Leggðu -6100 saman við \frac{406000}{61}.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Til að gera -\frac{x}{10} og -\frac{4x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -0.8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -0.1.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

Einfaldaðu.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

Dragðu 0.08x-0.05y-92=0 frá 0.08x+0.56y+488=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

Leggðu \frac{2x}{25} saman við -\frac{2x}{25}. Liðirnir \frac{2x}{25} og -\frac{2x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

Leggðu \frac{14y}{25} saman við \frac{y}{20}.

$$0.61y+488+92=0$$

Leggðu 488 saman við 92.

$$0.61y+580=0$$

Dragðu 580 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.61y=-580$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.61. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Skiptu -\frac{58000}{61} út fyrir y í -0.8x+0.5y+920=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

Margfaldaðu 0.5 sinnum -\frac{58000}{61} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

Leggðu -\frac{29000}{61} saman við 920.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

Dragðu \frac{27120}{61} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.8. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$