Leysa {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 3.

$$3A+3B-B=6$$

Sameinaðu 3B og -B til að fá 2B.

$$3A+2B=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Reiknaðu 3 í 2. veldi og fáðu 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 9.

$$18A+9B-B=42$$

Sameinaðu 9B og -B til að fá 8B.

$$18A+8B=42$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Veldu eina jöfnuna og leystu A með því að einangra A vinstra megin við samasemmerkið.

$$3A+2B=6$$

Dragðu 2B frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3A=-2B+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Settu -\frac{2B}{3}+2 inn fyrir A í hinni jöfnunni, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Margfaldaðu 18 sinnum -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Leggðu -12B saman við 8B.

$$-4B+36=42$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4B=6$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Skiptu -\frac{3}{2} út fyrir B í A=-\frac{2}{3}B+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -\frac{3}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$A=1+2$$

Leggðu 2 saman við 1.

$$A=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 3.

$$3A+3B-B=6$$

Sameinaðu 3B og -B til að fá 2B.

$$3A+2B=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Reiknaðu 3 í 2. veldi og fáðu 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 9.

$$18A+9B-B=42$$

Sameinaðu 9B og -B til að fá 8B.

$$18A+8B=42$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna A og B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 3.

$$3A+3B-B=6$$

Sameinaðu 3B og -B til að fá 2B.

$$3A+2B=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Reiknaðu 3 í 2. veldi og fáðu 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 9.

$$18A+9B-B=42$$

Sameinaðu 9B og -B til að fá 8B.

$$18A+8B=42$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Til að gera 3A og 18A jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 18 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Einfaldaðu.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Dragðu 54A+24B=126 frá 54A+36B=108 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Leggðu 54A saman við -54A. Liðirnir 54A og -54A núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36B-24B=108-126$$

Leggðu 36B saman við -24B.

$$12B=108-126$$

Leggðu 108 saman við -126.

$$12B=-18$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Skiptu -\frac{3}{2} út fyrir B í 18A+8B=42. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$18A=54$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$A=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$