Leysa {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+4$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Settu \frac{4+2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

Dragðu \frac{4}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{14}{3}$$

Skiptu \frac{14}{3} út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum \frac{14}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við \frac{28}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{8}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Til að gera 5x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

Dragðu 5x-5y=-10 frá 5x-2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+5y=4+10$$

Leggðu -2y saman við 5y.

$$3y=4+10$$

Leggðu 4 saman við 10.

$$3y=14$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

Skiptu \frac{14}{3} út fyrir y í x-y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Leggðu \frac{14}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{8}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$