Leysa {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Leggðu m_{1}x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Settu m_{1}x+am_{1}-b inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Leggðu m_{1}x saman við -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Dragðu am_{1}-b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Deildu báðum hliðum með m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Skiptu -a út fyrir x í y=m_{1}x+am_{1}-b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Margfaldaðu m_{1} sinnum -a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Leggðu am_{1}-b saman við -m_{1}a.

$$y=-b$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-b,x=-a$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-b,x=-a$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Dragðu y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b frá y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu -m_{1}x saman við m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu am_{1}-b saman við -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Deildu báðum hliðum með -m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Skiptu -a út fyrir x í y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Margfaldaðu -m_{2} sinnum -a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Dragðu m_{2}a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-b$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-b,x=-a$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Leggðu m_{1}x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Settu m_{1}x+am_{1}-b inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Leggðu m_{1}x saman við -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Dragðu am_{1}-b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Deildu báðum hliðum með m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Skiptu -a út fyrir x í y=m_{1}x+am_{1}-b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Margfaldaðu m_{1} sinnum -a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Leggðu am_{1}-b saman við -m_{1}a.

$$y=-b$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-b,x=-a$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-b,x=-a$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{1} með x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Dragðu m_{1}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda m_{2} með x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Dragðu m_{2}x frá báðum hliðum.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Dragðu y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b frá y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu -m_{1}x saman við m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Leggðu am_{1}-b saman við -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Deildu báðum hliðum með -m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Skiptu -a út fyrir x í y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Margfaldaðu -m_{2} sinnum -a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Dragðu m_{2}a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-b$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-b,x=-a$$