Leysa {l}{text{(1)}8x+4y=16}{text{(2)}2(x-2y)=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 8 x + 4 y = 16 } \\ { \text { (2) } 2 ( x - 2 y ) = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Deildu 4 með 2 til að fá 2.

$$x-2y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+4y=16$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-4y+16$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -4y+16.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Settu -\frac{y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=2.

$$-\frac{1}{2}y+2-2y=2$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{5}{2}y+2=2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Deildu 4 með 2 til að fá 2.

$$x-2y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{8\left(-2\right)-4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 16+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{20}\times 16-\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Deildu 4 með 2 til að fá 2.

$$x-2y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Til að gera 8x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$8x+4y=16,8x+8\left(-2\right)y=8\times 2$$

Einfaldaðu.

$$8x+4y=16,8x-16y=16$$

Dragðu 8x-16y=16 frá 8x+4y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+4y+16y=16-16$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+16y=16-16$$

Leggðu 4y saman við 16y.

$$20y=16-16$$

Leggðu 16 saman við -16.

$$20y=0$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x-2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=0$$