Leysa {l}{text{(1)}5x+2y=9}{text{(2)}-2y+7x=3}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 5 x + 2 y = 9 } \\ { \text { (2) } - 2 y + 7 x = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=9$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+9$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+9.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}$$

Settu \frac{-2y+9}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-2y=3.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}\right)-2y=3$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-2y+9}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{63}{5}-2y=3$$

Leggðu -\frac{14y}{5} saman við -2y.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{63}{5}=3$$

Dragðu \frac{63}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{24}{5}y=-\frac{48}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{24}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-2\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{7}{24}&-\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 9+\frac{1}{12}\times 3\\\frac{7}{24}\times 9-\frac{5}{24}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

Til að gera 5x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 9,5\times 7x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$35x+14y=63,35x-10y=15$$

Dragðu 35x-10y=15 frá 35x+14y=63 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$35x-35x+14y+10y=63-15$$

Leggðu 35x saman við -35x. Liðirnir 35x og -35x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y+10y=63-15$$

Leggðu 14y saman við 10y.

$$24y=63-15$$

Leggðu 63 saman við -15.

$$24y=48$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 7x-2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-2\times 2=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$7x-4=3$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$