Leysa {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Margfaldaðu 4 og 3 til að fá út 12.

$$y+2z=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Margfaldaðu 2 og 7 til að fá út 14.

$$5y+14z=48$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+2z=12$$

Dragðu 2z frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-2z+12$$

Settu -2z+12 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Leggðu -10z saman við 14z.

$$4z+60=48$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4z=-12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$z=-3$$

Skiptu -3 út fyrir z í y=-2z+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Margfaldaðu -2 sinnum -3.

$$y=6+12$$

Leggðu 12 saman við 6.

$$y=18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=18,z=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Margfaldaðu 4 og 3 til að fá út 12.

$$y+2z=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Margfaldaðu 2 og 7 til að fá út 14.

$$5y+14z=48$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og z.

$$y=18,z=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Margfaldaðu 4 og 3 til að fá út 12.

$$y+2z=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Margfaldaðu 2 og 7 til að fá út 14.

$$5y+14z=48$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Til að gera y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Einfaldaðu.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Dragðu 5y+14z=48 frá 5y+10z=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10z-14z=60-48$$

Leggðu 10z saman við -14z.

$$-4z=60-48$$

Leggðu 60 saman við -48.

$$-4z=12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$z=-3$$

Skiptu -3 út fyrir z í 5y+14z=48. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Margfaldaðu 14 sinnum -3.

$$5y-42=48$$

Leggðu 42 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=90$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=18,z=-3$$