Leysa {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 92.

$$x+92y=5336$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 79.

$$79x-y=4503$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+92y=5336$$

Dragðu 92y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-92y+5336$$

Settu -92y+5336 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 79x-y=4503.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

Margfaldaðu 79 sinnum -92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

Leggðu -7268y saman við -y.

$$-7269y+421544=4503$$

Dragðu 421544 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7269y=-417041$$

Deildu báðum hliðum með -7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Skiptu \frac{417041}{7269} út fyrir y í x=-92y+5336. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

Margfaldaðu -92 sinnum \frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

Leggðu 5336 saman við -\frac{38367772}{7269}.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 92.

$$x+92y=5336$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 79.

$$79x-y=4503$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 92.

$$x+92y=5336$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 79.

$$79x-y=4503$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Til að gera x og 79x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 79 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

Einfaldaðu.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

Dragðu 79x-y=4503 frá 79x+7268y=421544 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

Leggðu 79x saman við -79x. Liðirnir 79x og -79x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7268y+y=421544-4503$$

Leggðu 7268y saman við y.

$$7269y=421544-4503$$

Leggðu 421544 saman við -4503.

$$7269y=417041$$

Deildu báðum hliðum með 7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Skiptu \frac{417041}{7269} út fyrir y í 79x-y=4503. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

Leggðu \frac{417041}{7269} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

Deildu báðum hliðum með 79.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$