Leysa {l}{x/5+y/4=4/5}{x/2+frac{y}{8}=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 4 } { 5 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 8 } = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5}$$

Dragðu \frac{y}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$x=5\left(-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}\right)$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{y}{4}+\frac{4}{5}.

$$x=-\frac{5}{4}y+4$$

Settu -\frac{5y}{4}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{4}y+4\right)+\frac{1}{8}y=2$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{5y}{4}+4.

$$-\frac{5}{8}y+2+\frac{1}{8}y=2$$

Leggðu -\frac{5y}{8} saman við \frac{y}{8}.

$$-\frac{1}{2}y+2=2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{5}{2}\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{2}\times 2\\5\times \frac{4}{5}-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Til að gera \frac{x}{5} og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{5}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5},\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{5}\times 2$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5},\frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5}$$

Dragðu \frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5} frá \frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{10}x-\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

Leggðu \frac{x}{10} saman við -\frac{x}{10}. Liðirnir \frac{x}{10} og -\frac{x}{10} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

Leggðu \frac{y}{8} saman við -\frac{y}{40}.

$$\frac{1}{10}y=\frac{2-2}{5}$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við -\frac{2}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$\frac{1}{10}y=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x=2$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$