Leysa {l}{x/4+y/3=0}{x/2+y/6=-frac{3}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 0 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0$$

Dragðu \frac{y}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}\right)y$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{y}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Settu -\frac{4y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við \frac{y}{6}.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum 3.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{8}{3}\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)\\-2\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Til að gera \frac{x}{4} og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}y=0,\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0,\frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8}$$

Dragðu \frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8} frá \frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

Leggðu \frac{x}{8} saman við -\frac{x}{8}. Liðirnir \frac{x}{8} og -\frac{x}{8} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

Leggðu \frac{y}{6} saman við -\frac{y}{24}.

$$\frac{1}{8}y=\frac{3}{8}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 8.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\times 3=-\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=3$$