Leysa {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4, minnsta sameiginlega margfeldi 4,2.

$$x+2y=28$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4x-3y=24$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=28$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+28$$

Settu -2y+28 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Leggðu -8y saman við -3y.

$$-11y+112=24$$

Dragðu 112 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11y=-88$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-2y+28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 8+28$$

Margfaldaðu -2 sinnum 8.

$$x=-16+28$$

Leggðu 28 saman við -16.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=8$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4, minnsta sameiginlega margfeldi 4,2.

$$x+2y=28$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4x-3y=24$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=8$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4, minnsta sameiginlega margfeldi 4,2.

$$x+2y=28$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4x-3y=24$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Einfaldaðu.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Dragðu 4x-3y=24 frá 4x+8y=112 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y+3y=112-24$$

Leggðu 8y saman við 3y.

$$11y=112-24$$

Leggðu 112 saman við -24.

$$11y=88$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í 4x-3y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-3\times 8=24$$

Margfaldaðu -3 sinnum 8.

$$4x-24=24$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=48$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=8$$