Leysa {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x-3y=48$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3x+5y=15$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=48$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+48$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Settu \frac{3y}{2}+24 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Dragðu 72 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -6.

$$x=-9+24$$

Leggðu 24 saman við -9.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=-6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x-3y=48$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3x+5y=15$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=15,y=-6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x-3y=48$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3x+5y=15$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Einfaldaðu.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Dragðu 6x+10y=30 frá 6x-9y=144 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-10y=144-30$$

Leggðu -9y saman við -10y.

$$-19y=144-30$$

Leggðu 144 saman við -30.

$$-19y=114$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 3x+5y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Margfaldaðu 5 sinnum -6.

$$3x-30=15$$

Leggðu 30 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=45$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=-6$$