Leysa {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 3,5.

$$5x+3y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Margfaldaðu -6 og 2 til að fá út -12.

$$5x-12y=-120$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=105$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+105$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Settu -\frac{3y}{5}+21 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Leggðu -3y saman við -12y.

$$-15y+105=-120$$

Dragðu 105 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=-225$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum 15.

$$x=-9+21$$

Leggðu 21 saman við -9.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=15$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 3,5.

$$5x+3y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Margfaldaðu -6 og 2 til að fá út -12.

$$5x-12y=-120$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=15$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 3,5.

$$5x+3y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Margfaldaðu -6 og 2 til að fá út -12.

$$5x-12y=-120$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Dragðu 5x-12y=-120 frá 5x+3y=105 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+12y=105+120$$

Leggðu 3y saman við 12y.

$$15y=105+120$$

Leggðu 105 saman við 120.

$$15y=225$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í 5x-12y=-120. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-12\times 15=-120$$

Margfaldaðu -12 sinnum 15.

$$5x-180=-120$$

Leggðu 180 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=60$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=15$$