Leysa {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

Dragðu \frac{y}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

Settu -\frac{2y}{3}+20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=10$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 30.

$$x=-20+20$$

Leggðu 20 saman við -20.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=30$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=30$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Til að gera \frac{x}{2} og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

Dragðu \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 frá \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við -\frac{x}{2}. Liðirnir \frac{x}{2} og -\frac{x}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Leggðu \frac{y}{3} saman við -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

Leggðu 10 saman við -15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -6.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x+y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+30=30$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=30$$