Leysa {l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með ab, minnsta sameiginlega margfeldi a,b.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

Leystu y-2x=6 fyrir y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=6$$

Dragðu -2x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=2x+6$$

Settu 2x+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, bx^{2}+ay^{2}=ab.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

Hefðu 2x+6 í annað veldi.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

Margfaldaðu a sinnum 4x^{2}+24x+36.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

Leggðu bx^{2} saman við 4ax^{2}.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

Dragðu ab frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu b+a\times 2^{2} inn fyrir a, a\times 6\times 2\times 2 inn fyrir b og a\left(36-b\right) inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Hefðu a\times 6\times 2\times 2 í annað veldi.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Margfaldaðu -4b-16a sinnum a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Leggðu 576a^{2} saman við -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Finndu kvaðratrót 4ab\left(-36+4a+b\right).

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} þegar ± er plús. Leggðu -24a saman við 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

Deildu -24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} með 2b+8a.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} frá -24a.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

Deildu -24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} með 2b+8a.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

Hægt er að leysa x á tvenna vegu: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} og -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. Skiptu \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} út fyrir x í jöfnunni y=2x+6 til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

Settu núna -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} inn fyrir x í jöfnunni y=2x+6 og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$