Leysa {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 36, minnsta sameiginlega margfeldi 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Leystu 3x+4y=1 fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=1$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Hefðu -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} í annað veldi.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Leggðu 9y^{2} saman við \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} inn fyrir a, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 inn fyrir b og -\frac{320}{9} inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Hefðu 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Margfaldaðu -\frac{580}{9} sinnum -\frac{320}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Leggðu \frac{1024}{81} saman við \frac{185600}{81} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Finndu kvaðratrót 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Gagnstæð tala tölunnar 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 er \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} þegar ± er plús. Leggðu \frac{32}{9} saman við 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Deildu \frac{464}{9} með \frac{290}{9} með því að margfalda \frac{464}{9} með umhverfu \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} þegar ± er mínus. Dragðu 48 frá \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Deildu -\frac{400}{9} með \frac{290}{9} með því að margfalda -\frac{400}{9} með umhverfu \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{8}{5} og -\frac{40}{29}. Skiptu \frac{8}{5} út fyrir y í jöfnunni x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum \frac{8}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} saman við \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Settu núna -\frac{40}{29} inn fyrir y í jöfnunni x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{40}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) saman við \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$