Leysa {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Dragðu 20 frá 20 til að fá út 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$10x+4y-5x=20$$

Sameinaðu 10x og -5x til að fá 5x.

$$5x+4y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$3x+3y=x+8$$

Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-x=8$$

Sameinaðu 3x og -x til að fá 2x.

$$2x+3y=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+4y=20$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-4y+20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Settu -\frac{4y}{5}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Leggðu -\frac{8y}{5} saman við 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{4}{5}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Dragðu 20 frá 20 til að fá út 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$10x+4y-5x=20$$

Sameinaðu 10x og -5x til að fá 5x.

$$5x+4y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$3x+3y=x+8$$

Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-x=8$$

Sameinaðu 3x og -x til að fá 2x.

$$2x+3y=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Dragðu 20 frá 20 til að fá út 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$10x+4y-5x=20$$

Sameinaðu 10x og -5x til að fá 5x.

$$5x+4y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$3x+3y=x+8$$

Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-x=8$$

Sameinaðu 3x og -x til að fá 2x.

$$2x+3y=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Einfaldaðu.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Dragðu 10x+15y=40 frá 10x+8y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-15y=40-40$$

Leggðu 8y saman við -15y.

$$-7y=40-40$$

Leggðu 40 saman við -40.

$$-7y=0$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 2x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$