Leysa {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Sameinaðu 3y og 2y til að fá 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Dragðu 2 frá -3 til að fá út -5.

$$3x+5y-5=54$$

Bættu 5 við báðar hliðar.

$$3x+5y=54+5$$

Leggðu saman 54 og 5 til að fá 59.

$$3x+5y=59$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$2x+1+3y=48$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=48-1$$

Dragðu 1 frá 48 til að fá út 47.

$$2x+3y=47$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=59$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y+59$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Settu \frac{-5y+59}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Dragðu \frac{118}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=-23$$

Skiptu -23 út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Leggðu \frac{59}{3} saman við \frac{115}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=58$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=58,y=-23$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Sameinaðu 3y og 2y til að fá 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Dragðu 2 frá -3 til að fá út -5.

$$3x+5y-5=54$$

Bættu 5 við báðar hliðar.

$$3x+5y=54+5$$

Leggðu saman 54 og 5 til að fá 59.

$$3x+5y=59$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$2x+1+3y=48$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=48-1$$

Dragðu 1 frá 48 til að fá út 47.

$$2x+3y=47$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=58,y=-23$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Sameinaðu 3y og 2y til að fá 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Dragðu 2 frá -3 til að fá út -5.

$$3x+5y-5=54$$

Bættu 5 við báðar hliðar.

$$3x+5y=54+5$$

Leggðu saman 54 og 5 til að fá 59.

$$3x+5y=59$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$2x+1+3y=48$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=48-1$$

Dragðu 1 frá 48 til að fá út 47.

$$2x+3y=47$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Einfaldaðu.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Dragðu 6x+9y=141 frá 6x+10y=118 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-9y=118-141$$

Leggðu 10y saman við -9y.

$$y=118-141$$

Leggðu 118 saman við -141.

$$y=-23$$

Skiptu -23 út fyrir y í 2x+3y=47. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Margfaldaðu 3 sinnum -23.

$$2x-69=47$$

Leggðu 69 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=116$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=58$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=58,y=-23$$