Leysa {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-11$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x.

$$y+1=-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+1+2x=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y+2x=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{4-y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4-y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-11$$

Skiptu -11 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -11.

$$x=\frac{11+4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við \frac{11}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-11$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x.

$$y+1=-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+1+2x=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y+2x=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-11$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x.

$$y+1=-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+1+2x=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y+2x=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Dragðu 2x+y=-1 frá 3x+y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-2x+y-y=4+1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-2x=4+1$$

Leggðu 3x saman við -2x.

$$x=4+1$$

Leggðu 4 saman við 1.

$$x=5$$

Skiptu 5 út fyrir x í 2x+y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\times 5+y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$10+y=-1$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-11$$