Leysa {l}{3/4x-1/4y=2}{1/2x+3/4y=-frac{1}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x - \frac { 1 } { 4 } y = 2 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2$$

Leggðu \frac{y}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}y+2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{4}y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum \frac{y}{4}+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Settu \frac{8+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{8+y}{3}.

$$\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{y}{6} saman við \frac{3y}{4}.

$$\frac{11}{12}y+\frac{4}{3}=-\frac{1}{2}$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{12}y=-\frac{11}{6}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{12}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}&\frac{4}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{12}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\times 2+\frac{4}{11}\left(-\frac{1}{2}\right)\\-\frac{8}{11}\times 2+\frac{12}{11}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Til að gera \frac{3x}{4} og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{3}{4}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)y=\frac{1}{2}\times 2,\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}y=\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y=1,\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}y=-\frac{3}{8}$$

Dragðu \frac{3}{8}x+\frac{9}{16}y=-\frac{3}{8} frá \frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y-\frac{9}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

Leggðu \frac{3x}{8} saman við -\frac{3x}{8}. Liðirnir \frac{3x}{8} og -\frac{3x}{8} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{8}y-\frac{9}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

Leggðu -\frac{y}{8} saman við -\frac{9y}{16}.

$$-\frac{11}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

Leggðu 1 saman við \frac{3}{8}.

$$-\frac{11}{16}y=\frac{11}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{16}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\left(-2\right)=-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -2.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-2$$