Leysa {l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=21$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

Dragðu \frac{y}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{y}{7}+9.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

Settu -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2}.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

Leggðu -\frac{y}{14} saman við -\frac{5y}{7}.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{14}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{14} sinnum 21.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

Leggðu \frac{27}{2} saman við -\frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=21$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=21$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Til að gera \frac{2x}{3} og \frac{x}{3} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{3} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

Dragðu \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 frá \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

Leggðu \frac{2x}{9} saman við -\frac{2x}{9}. Liðirnir \frac{2x}{9} og -\frac{2x}{9} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

Leggðu \frac{y}{21} saman við \frac{10y}{21}.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

Leggðu 3 saman við 8.

$$\frac{11}{21}y=11$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{21}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

Margfaldaðu -\frac{5}{7} sinnum 21.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=3$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=21$$