Leysa {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 100.

$$108x+110y=100800$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Minnka brotið \frac{110}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Minnka brotið \frac{108}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$108x+110y=100800$$

Dragðu 110y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$108x=-110y+100800$$

Deildu báðum hliðum með 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{108} sinnum -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Settu -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Margfaldaðu \frac{11}{10} sinnum -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Leggðu -\frac{121y}{108} saman við \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Dragðu \frac{3080}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{109}{2700}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Skiptu -\frac{3600}{109} út fyrir y í x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{55}{54} sinnum -\frac{3600}{109} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Leggðu \frac{2800}{3} saman við \frac{11000}{327} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 100.

$$108x+110y=100800$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Minnka brotið \frac{110}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Minnka brotið \frac{108}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 100.

$$108x+110y=100800$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Minnka brotið \frac{110}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Minnka brotið \frac{108}{100} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Til að gera 108x og \frac{11x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{11}{10} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Einfaldaðu.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Dragðu \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 frá \frac{594}{5}x+121y=110880 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Leggðu \frac{594x}{5} saman við -\frac{594x}{5}. Liðirnir \frac{594x}{5} og -\frac{594x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Leggðu 121y saman við -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Leggðu 110880 saman við -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{109}{25}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Skiptu -\frac{3600}{109} út fyrir y í \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Margfaldaðu \frac{27}{25} sinnum -\frac{3600}{109} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Leggðu \frac{3888}{109} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{10}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$