Leysa {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Margfaldaðu 5 sinnum x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Settu 5x+\frac{5}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Leggðu -\frac{5x}{2} saman við 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=\frac{45}{2}$$

Skiptu \frac{45}{2} út fyrir x í y=5x+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{225}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=115$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Til að gera \frac{y}{5} og -\frac{y}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -\frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{5}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Einfaldaðu.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Dragðu -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 frá -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Leggðu -\frac{y}{10} saman við \frac{y}{10}. Liðirnir -\frac{y}{10} og \frac{y}{10} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Leggðu -\frac{1}{4} saman við -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -10.

$$x=\frac{45}{2}$$

Skiptu \frac{45}{2} út fyrir x í -\frac{1}{2}y+3x=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Dragðu \frac{135}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=115$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$