Leysa {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-68$$

$$y=-40$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4y}{5}-2.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

Settu \frac{8y}{5}-4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum \frac{8y}{5}-4.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

Leggðu \frac{4y}{15} saman við -\frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -15.

$$y=-40$$

Skiptu -40 út fyrir y í x=\frac{8}{5}y-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

Margfaldaðu \frac{8}{5} sinnum -40.

$$x=-64-4$$

Leggðu -4 saman við -64.

$$x=-68$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-68,y=-40$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-68,y=-40$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Til að gera \frac{x}{2} og \frac{x}{6} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{6} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

Dragðu \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 frá \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Leggðu \frac{x}{12} saman við -\frac{x}{12}. Liðirnir \frac{x}{12} og -\frac{x}{12} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Leggðu -\frac{2y}{15} saman við \frac{y}{6}.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við -1.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 30.

$$y=-40$$

Skiptu -40 út fyrir y í \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -40.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

Dragðu \frac{40}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 6.

$$x=-68$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-68,y=-40$$